はい、消せます。写真に印字されるフィルムカメラ風のタイムスタンプ（Momentsのロゴと日付）は、ホストが設定で非表示にできます。
手順
アルバムを作成した後、アルバムの「設定」を開く
右上の「…」から「詳細設定」を開く
「写真のタイムスタンプを非表示」をオンにする
アルバムを作成する途中の画面で設定した場合、古いバージョンのアプリでは反映されないことがありました。アプリを最新バージョンにアップデートしてください。
後から変更すると、アルバム内のこれまでの写真にも反映されます（すでにスマホに保存した写真は変わりません）。
カメラロールからアップロードした写真には、撮影した日ではなくアップロードした日の日付が入ります。
タイムスタンプはフィルターとは別の設定です。フィルターをオフにしていても、この設定をオンにしない限りタイムスタンプは表示されます。